Question

19．已知a，b为非零实数，则$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）．

Answer 1

分析 当a，b同号时，$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$≥2$\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{b}{a}}$=2；当a，b异号时，$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$$≤-2\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{b}{a}}$=-2．

解答 解：∵a，b为非零实数，
∴当a，b同号时，$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$≥2$\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{b}{a}}$=2，
当且仅当$\frac{a}{b}=\frac{b}{a}$时取等号；
当a，b异号时，$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$$≤-2\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{b}{a}}$=-2，
当且仅当$\frac{a}{b}=\frac{b}{a}$时取等号．
∴$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）．
故答案为：（-∞，-2]∪[2，+∞）．

点评 本题考查代数式的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．