Question

17．函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对一切x＞0，y＞0都有f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y），当x＞1时，有f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的单调性并证明；
（3）若f（6）=1，解不等式f（2x-4）-f（$\frac{x}{36}$）＜2．

Answer 1

分析 （1）令x=y=1，即可求得f（1）的值；
（2）利用单调性的定义，任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，作差f（x₂）-f（x₁）后，判断符号即可；
（3）依题意，由f（6）=1⇒f（36）=2，将不等式f（2x-4）-f（$\frac{x}{36}$）＜2进行转化即可得到结论．．

解答 解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）-f（1）=0，
则f（1）=0．
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$），
∵x₂＞x₁＞0，
∴$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，故f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
则f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）∵f（6）=1，∴f（36）-f（6）=f（6），
∴f（36）=2f（6）=2．
由f（2x-4）-f（$\frac{x}{36}$）＜2．
得f（$\frac{2x-4}{\frac{x}{36}}$）＜f（36），
即f（$\frac{36（2x-4）}{x}$）＜f（36），
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x-4＞0}\\{\frac{x}{36}＞0}\\{\frac{36（2x-4）}{x}＜36}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{x＞0}\\{2x-4＜x}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{x＞0}\\{x＜4}\end{array}\right.$，即2＜x＜4．
∴原不等式的解集为（2，4）．

点评 本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数单调性的证明，考查不等式的解法，属于中档题．