Question

已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）+g（x）=e^x-kx，k为常数．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若k≤1，证明：f（x）在R上为增函数．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）根据奇函数、偶函数的定义，对于f（x）+g（x）=e^x-kx，把x换上-x，便可得到：-f(x)+g(x)=

1

ex

+kx，两式联立即可解出f（x）=

ex

2

-

1

2ex

-kx；
（Ⅱ）求f′（x）=

(ex)2-2kex+1

2ex

，对于（e^x）²-2kx+1，令e^x=t（t＞0），便得到函数y=t²-2kt+1．若求该函数的判别式，容易发现需对k分成-1≤k≤1，和k＜-1两种情况判断y的符号，并需证明在这两种情况下的y都大于等于0，从而便证出k≤1时，f（x）在R上为增函数．

解答： 解：（Ⅰ）由已知条件得：f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），-f（x）+g（x）=

1

ex

+kx；
∴由

f(x)+g(x)=ex-kx -f(x)+g(x)= 1 ex +kx

得，f（x）=

ex

2

-

1

2ex

-kx；
（Ⅱ）证明：f′（x）=

(ex)2-2kex+1

2ex

；
对于（e^x）²-2ke^x+1，设e^x=t（t＞0），y=t²-2kt+1；
①当-1≤k≤1时，△=4（k²-1）≤0；
∴y≥0，即f′（x）≥0；
∴f（x）在R上为增函数；
②当k＜-1时，函数y=t²-2kt+1，t＞0，的对称轴为x=k，则：
该函数在[0，+∞）为增函数，且t=0时，y=1＞0；
∴对于任意的t＞0，y＞0；
即对于任意的x∈R，f′（x）＞0；
∴f（x）在R上为增函数；
综合①②得若k≤1，f（x）在R上为增函数．

点评：考查奇函数、偶函数的定义，以及函数导数符号和函数单调性的关系，二次函数取值情况和判别式△的关系，二次函数的单调性．