Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，，.

(1)证明：平面平面；

(2)有一动点在底面的四条边上移动，求三棱锥的体积的最大值.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】

(1)取中点，连结，，，由已知可得为等边三角形，为等腰三角形，可得，，进而可得平面平面，由勾股定理可证，再由面面垂直的性质定理即可证得平面平面；

(2)结合图形可知当在点处，此时三棱锥的体积最大，而，故只需求三棱锥的体积即可.

如图，取中点，连结，，，

因为，为的中点，所以，

又底面为菱形，所以，又，

所以为等边三角形，又为的中点，

所以，又，平面，

所以平面，又平面，

所以平面平面，

又在等边三角形中，，所以，

又在中，，，所以，

所以，所以，

又平面平面，平面，

所以平面，又平面，

所以平面平面.

(2)当在点处，此时三棱锥的体积最大，

因为，，，

在菱形中，，，

所以，

由(1)知平面，，

所以，

所以三棱锥的体积的最大值为.