Question

【题目】设，，，其中e为自然对数的底数（）.

（1）当时，求在处的切线方程；

（2）设，求的单调区间；

（3）当时，恒成立，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.

【解析】

（1）当时，先求函数的导数，利用导数的几何意义求切线方程；

（2）先求函数的导数，然后分和讨论求函数的单调性；（3）首先求函数的导数，讨论当，由函数的单调性判断函数的最大值说明恒成立，当时，令，则，分，两种情况讨论函数的单调性，并判断函数的最值，说明的取值范围.

解：（1）当时，，，

，，

所以在处的切线方程为，即.

（2）.

①当时，，所以当时，；当时，；

②当时，令得，.

ⅰ.若，即时，则恒成立，

所以单调增区间为.

ⅱ.若，即时，即或；

即，

所以单调增区间为和，单调减区间为.

ⅲ.若，即时，即或，即，所以单调增区间为和，单调减区间为.

（3）.

①若时，则在时恒成立，所以在上单调递减，所以当时，，所以时，恒成立.

②若时，令，则，

ⅰ.当时，即时，，所以单调递减，所以，即，

所以单调递减，所以当时，恒成立.

ⅱ.当时，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增.

因为在上单调递增且，

所以，所以在上，所以，所以单调递增，

所以当时，，不满足条件.

所以a的取值范围是.