题目内容
（2006•丰台区一模）四边形ABCD是梯形，
•
=0，
与
共线，A，B是两个定点，其坐标分别为（-1，0），（1，0），C、D是两个动点，且满足|CD|=|BC|．
（Ⅰ）求动点C的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设直线BC与动点C的轨迹E的另一交点为P，过点B且垂直于BC的直线交动点C的轨迹E于M，N两点，求四边形CMPN面积的最小值．
| AB |
| AD |
| AB |
| CD |
（Ⅰ）求动点C的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设直线BC与动点C的轨迹E的另一交点为P，过点B且垂直于BC的直线交动点C的轨迹E于M，N两点，求四边形CMPN面积的最小值．
分析：（Ⅰ）由
•
=0，
与
共线可知四边形ABCD是直角梯形，且CD⊥DA，又|CD|=|BC|，所以动点C的轨迹为以B为焦点，DA为准线，对称轴为x轴的抛物线．由此能求出动点C的轨迹E的方程．
（Ⅱ）设直线BC方程y=k（x-1），由
，得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，设P（x1，y1），C（x2，y2），由韦达定理结合题设条件能求出四边形CMPN面积的最小值．
| AB |
| AD |
| AB |
| CD |
（Ⅱ）设直线BC方程y=k（x-1），由
|
解答：解：（Ⅰ）由
•
=0，
与
共线可知，
四边形ABCD是直角梯形，且CD⊥DA，又|CD|=|BC|，
所以动点C的轨迹为以B为焦点，DA为准线，
对称轴为x轴的抛物线．
设动点C的轨迹E的方程y2=2px（p＞0），
则p=|AB|=2
所以动点C的轨迹E的方程是y2=4x（x≠0，x≠1）…（3分）
（Ⅱ）设直线BC斜率为k，
由题意知，k存在且k≠0，
直线BC的方程y=k（x-1）
依题意
，
∴k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
设P（x1，y1），C（x2，y2）
则x1+x2=
，x1x2=1，
|PC|=
=
直线MN垂直于直线BC，
以-
替代上式中的k，得|MN|=4（k2+1）…（7分）
∴S四边形CMPN=
|PC|•|BN|+
|PC|•|BM|
=
|PC|(|BN|+|BM|)
=
|PC|•|MN|
=
•
•4(1+k2)
=8•
=8(k2+
+2)
∵k2+
≥2∴8(k2+
+2)≥32
四边形CMPN面积的最小值等于32． …（12分）
| AB |
| AD |
| AB |
| CD |
四边形ABCD是直角梯形，且CD⊥DA，又|CD|=|BC|，
所以动点C的轨迹为以B为焦点，DA为准线，
对称轴为x轴的抛物线．
设动点C的轨迹E的方程y2=2px（p＞0），
则p=|AB|=2
所以动点C的轨迹E的方程是y2=4x（x≠0，x≠1）…（3分）
（Ⅱ）设直线BC斜率为k，
由题意知，k存在且k≠0，
直线BC的方程y=k（x-1）
依题意
|
∴k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
设P（x1，y1），C（x2，y2）
则x1+x2=
| 2k2+4 |
| k2 |
|PC|=
| (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] |
| 4(1+k2) |
| k2 |
直线MN垂直于直线BC，
以-
| 1 |
| k |
∴S四边形CMPN=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
| 4(1+k2) |
| k2 |
=8•
| k4+2k2+1 |
| k2 |
| 1 |
| k2 |
∵k2+
| 1 |
| k2 |
| 1 |
| k2 |
四边形CMPN面积的最小值等于32． …（12分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点，易错点是圆锥曲线知识体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
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