Question

（2006•丰台区一模）函数f （x） 对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f （1）=0．
（Ⅰ）求f （0）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅲ）当x∈(0，

1

2

)时，f （x）+2＜log_ax恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据函数f （x） 对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，令x=1，y=0可求出f（0）的值；
（Ⅱ）令 y=0，可得函数f（x）的表达式；
（Ⅲ）将f （x）的解析式代入得x²+x＜log_ax，又x∈(0，

1

2

)，所以x²+x＞0，当a＞1时，log_ax＜0，说明a＞1不合题意，设h(x)=x2+x-logax(0＜x＜

1

2

，0＜a＜1)，即h（x）＜0恒成立然后利用导数研究函数的单调性，求出函数h（x）的最大值，使最大值小于等于0即可．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f （x） 对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立
∴令x=1，y=0，f（1+0）-f（0）=1（1+2×0+1）⇒f（0）=-2…（3分）
（Ⅱ）令 y=0，可得  f（x）=x²+x-2…（5分）
（Ⅲ）f （x）+2＜log_ax即  x²+x＜log_ax
又x∈(0，

1

2

)，所以x²+x＞0，
当a＞1时，log_ax＜0，说明a＞1不合题意．…（7分）
设h(x)=x2+x-logax(0＜x＜

1

2

，0＜a＜1)，即h（x）＜0恒成立
因为h′(x)=2x+1-

1

xlna

当0＜x＜

1

2

，0＜a＜1时，h'（x）＞0恒成立…（9分）
所以 h（x）是增函数，有 h(x)＜h(

1

2

)=

3

4

-loga

1

2

…（11分）
只需 

3

4

-loga

1

2

≤0恒成立，解得  a≥2-

4

3

所以实数a的取值范围是 a≥2-

4

3

…（14分）

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及利用导数研究函数的单调性和恒成立问题，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．