Question

（2006•丰台区一模）设数列{b_n}的前n项和为S_n，且2S_n=2-b_n，数列{a_n}为等差数列，a₅=14，a₇=20．若c_n=a_n•b_n，n=1，2，3，…．试判断c_n+1与c_n的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析：先根据2S_n=2-b_n求出b₁，然后根据n≥2时，bn=Sn-Sn-1=

bn-1-bn

2

，从而得到

bn

bn-1

=

1

3

，所以{b_n}是以b1=

2

3

为首项，公比

1

3

为的等比数列，求出{b_n}的通项，然后根据数列{a_n}为等差数列，求出其通项公式，最后根据c_n=a_n•b_n，然后判定c_n+1-c_n的符号可得所求．

解答：解：由2S_n=2-b_n⇒Sn=

2-bn

2

，当n=1时，b1=

2

3

…（1分）
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=

bn-1-bn

2

⇒3bn=bn-1⇒

bn

bn-1

=

1

3

所以{b_n}是以b1=

2

3

为首项，公比

1

3

为的等比数列，且bn=2•(

1

3

)n…（7分）
数列{a_n}为等差数列，所以公差 d=

1

2

(a7-a5)=3，an=3n-1…（10分）
又    cn=an•bn=2(3n-1)(

1

3

)n⇒cn+1-cn=2•(

1

3

)n+1(5-6n)
因为n=1，2，3，…所以5-6n＜0则c_n+1-c_n＜0
所以  c_n+1＜c_n…（14分）

点评：本题主要考查了数列的递推关系，以及等式数列的通项公式和数列与不等式的综合，同时考查了利用作差法比较大小，属于中档题．