Question

设点到直线的距离与它到定点的距离之比为，并记点的轨迹为曲线．

（Ⅰ）求曲线的方程;

（Ⅱ）设，过点的直线与曲线相交于两点，当线段的中点落在由四点构成的四边形内（包括边界）时，求直线斜率的取值范围．

Answer 1

解:（Ⅰ）有题意，     

整理得，所以曲线的方程为

（Ⅱ）显然直线的斜率存在，所以可设直线的方程为.

设点的坐标分别为

线段的中点为，

由

得

由解得．…(1)   

由韦达定理得，于是

=，   

因为，所以点不可能在轴的右边，

又直线,方程分别为

所以点在正方形内（包括边界）的充要条件为

 即  亦即  

解得，……………(2)  

由（1）（2）知，直线斜率的取值范围是