Question

10．全美职业篮球联赛（NBA）某年度总决赛在克利夫兰骑士队与金州勇士队之间角逐，比赛采用七局四胜制，即若有一队先胜四场，则此队获胜，比赛就此结束．因两队实力相当，故每场比赛获胜的可能性相等．据以往资料统计，第一场比赛组织者可获得门票收入2000万美元，以后每场比赛门票收入比上一场增加100万美元．当两队决出胜负后，
问：（1）组织者在此次决赛中要获得门票收入不少于13500万美元的概率为多少？
（2）某队在比赛过程中曾一度比分（胜一场得1分）落后2分以上（含2分），最后取得全场胜利称为“逆袭”，求骑士队“逆袭”获胜的概率；
（3）求此次决赛所需比赛场数的概率分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）计算比赛场次，再求出相应的概率，即可求出组织者在此次决赛中要获得门票收入不少于13500万元的概率；
（2）若骑士队“逆袭”获胜，可能通过6场或7场获胜，分类求概率，即可求出骑士队“逆袭”获胜的概率；
（3）所需比赛场数ξ是随机变量，其取值为4，5，6，7．求出相应的概率，即可得出决赛所需比赛场数的分布列及数学期望．

解答 解：（1）设比赛场次为n，则组织者获得门票收入为2000n+$\frac{n（n-1）}{2}×100$≥13500，
解得n≥6，故至少要比赛6场．
设事件A_i表示决赛进行i场，（i=4，5，6，7）
若比赛进行6场，则其中1队在前5场赢了3场，并在第6场赢球，
∴P（A₆）=2×${C}_{5}^{3}$（$\frac{1}{2}$）³（$\frac{1}{2}$）²$•\frac{1}{2}$=$\frac{5}{16}$，
若比赛进行7场，则两队在前6场各赢3场，
∴P（A₇）=${C}_{6}^{3}$×（$\frac{1}{2}$）³（$\frac{1}{2}$）³=$\frac{5}{16}$，
∴收入不少于13500万元的概率为$\frac{5}{16}+\frac{5}{16}$=$\frac{5}{8}$．
（2）若骑士队“逆袭”获胜，可能通过6场或7场获胜．
当6场获胜时，则1、2场败，3、4、5、6胜，概率为（$\frac{1}{2}$）⁶=$\frac{1}{64}$；
当7场获胜时，则4胜3败，
①若前2场都败，则另外1败可以任意发生在第3、4、5、6中的一场，所以“逆袭”获胜概率为C${\;}_{4}^{1}$•（$\frac{1}{2}$）⁷=$\frac{1}{32}$．
②若前2场1胜1败，则第3、4场必须败，所以“逆袭”获胜概率为${C}_{2}^{1}•$（$\frac{1}{2}$）⁷=$\frac{1}{64}$，
故骑士队“逆袭”获胜的概率为$\frac{1}{64}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}$=$\frac{1}{16}$．
（3）设比赛场数为ξ，则ξ的可能取值为4，5，6，7．
则P（ξ=4）=${C}_{2}^{1}$（$\frac{1}{2}$）⁴=$\frac{1}{8}$，P（ξ=5）=2${C}_{4}^{3}$（$\frac{1}{2}$）⁴$•\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，由（1）知P（ξ=6）=$\frac{5}{16}$，P（ξ=7）=$\frac{5}{16}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	4	5	6	7
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{5}{16}$

∴E（ξ）=4×$\frac{1}{8}$+5×$\frac{1}{4}$+6×$\frac{5}{16}$+7×$\frac{5}{16}$=$\frac{93}{16}$．

点评 本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列和期望，考查分类讨论的数学思想，正确求概率是关键．