Question

1．求下列函数的定义域、值域及单调区间．
（1）f（x）=3${\;}^{\sqrt{{x}^{2}-5x+4}}$；
（2）f（x）=4^x-2^x+1-5．

Answer 1

分析 （1）分别求出函数f（x）=3${\;}^{\sqrt{{x}^{2}-5x+4}}$的定义域、值域和单调增、减区间；
（2）分别求出函数f（x）=4^x-2^x+1-5的定义域、值域和单调增、减区间．

解答 解：（1）对于函数f（x）=3${\;}^{\sqrt{{x}^{2}-5x+4}}$，
满足x²-5x+4≥0，解得x≤1或x≥4，
∴f（x）的定义域是（-∞，1]∪[4，+∞）；
又$\sqrt{{x}^{2}-5x+4}$≥0，且3⁰=1，
∴f（x）的值域是[1，+∞）；
当x≤-1时，t=x²-5x+4是单调减函数，∴f（x）是减函数；
当x≥4时，t=x²-5x+4是单调增函数，∴f（x）是增函数；
∴f（x）的单调减区间是（-∞，1]，单调增区间是[4，+∞）；
（2）对于函数f（x）=4^x-2^x+1-5，定义域是R；
且f（x）=4^x-2^x+1-5=（2^x）²-2•2^x-5=（2^x-1）²-6，
当x=0时，f（x）取得最小值-6，
∴f（x）的值域是[-6，+∞）；
当x≥0时，t=（2^x-1）²单调递增，∴f（x）是增函数；
当x＜0时，t=（2^x-1）²单调递减，∴f（x）是减函数，
∴f（x）的单调减区间是（-∞，0），单调增区间是[0，+∞）．

点评 本题考查了复合函数的定义域、值域和单调性问题，是中档题．