Question

18．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos²B-cos²C-sin²A=-sinAsinB，sin（A-B）=cos（A+B）．
（1）求角A、B、C；
（2）若a=$\sqrt{2}$，求三角形ABC的边长b的值及三角形ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理表示出cosC，把已知等式利用正弦定理化简，整理后代入计算求出cosC的值，即可确定出C的度数，由sin（A-B）=cos（A+B），可得sinA=cosA，由A为锐角，可得A，利用三角形内角和定理可求B的值．
（2）利用正弦定理可求b，进而根据三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）∵△ABC的三个内角为A，B，C，且cos²B-cos²C-sin²A=-sinAsinB．
可得：sin²C+sinAsinB=sin²A+sin²B，
∴由正弦定理化简得：c²+ab=a²+b²，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{3}$．
∵sin（A-B）=cos（A+B）．即sinAcosB-cosAsinB=cosAcosB-sinAsinB，
∴sinA（sinB+cosB）=cosA（sinB+cosB），
∴sinA=cosA，
∴由A为锐角，可得A=$\frac{π}{4}$，B=π-A-C=$\frac{5π}{12}$．
（2）∵a=$\sqrt{2}$，A=$\frac{π}{4}$，B=$\frac{5π}{12}$，
∴由正弦定理可得：b=$\frac{a•sinB}{sinA}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，
∴三角形ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×$$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了转化思想，推理能力与计算能力，属于中档题．