Question

已知点A（0，-3），B（2，3），直线x+4y-1=0过抛物线y=ax²的焦点，动点P在抛物线上，则△PAB面积的最小值是（　　）

• A、

  3

  4

• B、

  5

  6

• C、

  4

  5

• D、

  2

  3

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先求出抛物线的方程，再求出与AB平行，且与抛物线相切的切点坐标，即可求出△PAB面积的最小值．

解答： 解：令x=0，可得y=

1

4

，∴抛物线y=ax²的焦点为（0，

1

4

），∴a=1，
∴抛物线的方程为y=x²，
∴y′=2x，
∵A（0，-3），B（2，3），
∴k_AB=

3+3

2-0

=3，
∴与AB平行，且与抛物线相切的切线斜率为3，
∴2x=3，
∴x=

3

2

，
∴切点为P（

3

2

，

9

4

），
∵直线AB的方程为y=3x-3，即3x-y-3=0，
∴P到直线AB的距离为

| 9 2 - 9 4 -3|

10

=

3

4 10

，
∵|AB|=

4+36

=2

10

，
∴△PAB面积的最小值是

1

2

•2

10

•

3

4 10

=

3

4

．
故选：A．

点评：本题考查抛物线方程，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．