题目内容

3．抛物线C：x2=2py（p＞0）的通径为4，正三角形一个顶点是原点O，另外两点A，B也在抛物线C上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求正三角形OAB边长．

分析 （1）抛物线的通径为2p=4，可得p=2，进而得到抛物线方程；
（2）求出A的坐标，即可得到OA的长．

解答 解：（1）∵抛物线的通径为2p=4，∴p=2，
∴抛物线C的方程为x2=4y    （5分）
（2）∵△AOB为正三角形．由抛物线的几何性质知：OA，OB关于y轴对称
∴设直线OA的方程为y=$\sqrt{3}x$，由 $\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=\sqrt{3}x}\end{array}\right.$得 x2=4$\sqrt{3}x$，（8分）
∴xA=4$\sqrt{3}$myA=12，（10分）
∴|OA|=8$\sqrt{3}$      （14分）

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查学生的计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
相关题目
13．下列几个命题：
①函数y=$\sqrt{{x^2}-1}+\sqrt{1-{x^2}}$是偶函数，但不是奇函数；
②“$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△={b^2}-4ac≤0\end{array}$”是“一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R”的充要条件；
③若函数y=Acos（ωx+ϕ）（A≠0）为奇函数，则ϕ=$\frac{π}{2}$+kπ（k∈Z）；
④已知x∈（0，π），则y=sinx+$\frac{2}{sinx}$的最小值为2$\sqrt{2}$．
其中正确的有②③．
14．将函数y=sin（x-$\frac{5π}{6}$）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，则所得函数图象对应的解析式是（　　）
A．$y=sin（\frac{x}{2}-\frac{π}{4}）$B．$y=sin（2x-\frac{π}{6}）$C．$y=sin（{2x-\frac{3π}{2}}）$D．$y=sin（\frac{x}{2}-\frac{2π}{3}）$
11．已知集合A={1，2，3}，B={2，3，6}定义运算A?B=（x|x=ab，a∈A，b∈B）则A?B中所含元素的个数为（　　）
A．6B．7C．8D．9
18．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，椭圆C和抛物线y2=x交于M，N两点，且直线MN恰好通过椭圆C的右焦点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）经过椭圆C右焦点的直线l和椭圆C交于A，B两点，点P在椭圆上，且$\overrightarrow{OA}$=2$\overrightarrow{BP}$，其中O为坐标原点，求直线l的斜率．
8．已知数列{an}中，a1=-$\frac{1}{4}$，an=1-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n＞1），则a2016的值为（　　）
A．-$\frac{1}{4}$B．5C．$\frac{4}{5}$D．2
15．若复数$\frac{1-bi}{2+i}$（b∈R）的实部与虚部相等，则b的值为（　　）
A．-6B．-3C．3D．6
12．设a为实数，函数f（x）=（x-a）2+|x-a|-a（a-1）．
（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；
（2）求f（x）在R上的单调区间（无需使用定义严格证明，但必须有一定的推理过程）；
（3）当a＞2时，求函数g（x）=f（x）+|x|在R上的零点个数．
14．已知[x]表示不超过实数x的最大整数（x∈R），如：[-1.3]=-2，[0.8]=0，[3.4]=3．定义{x}=x-[x]，给出如下命题：
①使[x+1]=3成立的x的取值范围是2≤x＜3；
②函数y={x}的定义域为R，值域为[0，1]；
③设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\left\{x\right\}\begin{array}{l}{\;}，{x≥0}\end{array}\\ f（x+1）\begin{array}{l}{\;}，{x＜0}\end{array}\end{array}$，则函数y=f（x）-$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{4}$的不同零点有3个．
④{$\frac{2013}{2014}}$}+{${\frac{{{{2013}^2}}}{2014}}$}+{${\frac{{{{2013}^3}}}{2014}}$}+…+{${\frac{{{{2013}^{2014}}}}{2014}$}=1007．
其中正确命题的序号是①③④．（填上所有正确命题的序号）

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