Question

18．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$的左、右焦点分别为F₁，F₂且F₂恰为抛物线x=$\frac{1}{4}{y}^{2}$的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF₁F₂是以AF₁为底边的等腰三角形，则双曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3-2\sqrt{2}}-\frac{{y}^{2}}{2\sqrt{2}-2}=1$．

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线C的值，利用抛物线与双曲线的交点以及△AF₁F₂是以AF₁为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a的值，然后求出双曲线的方程．

解答 解：抛物线的焦点坐标（1，0），所以双曲线中，c=1，
因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF₁F₂是以AF₁为底边的等腰三角形，
由抛物线的定义可知，抛物线的准线方程过双曲线的左焦点，所以$\frac{{b}^{2}}{a}$=2c，
c²=a²+b²=1，解得a=$\sqrt{2}$-1，
所以b²=2（$\sqrt{2}$-1），
所以双曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3-2\sqrt{2}}-\frac{{y}^{2}}{2\sqrt{2}-2}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{3-2\sqrt{2}}-\frac{{y}^{2}}{2\sqrt{2}-2}=1$．

点评 本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．