题目内容

6．已知F1（-c，0），F2（c，0）分别是椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且|F1F2|=2$\sqrt{3}$，离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆右焦点F2作直线l交椭圆M于A，B两点
（1）当直线l的斜率为1时，求△AF1B的面积S
（2）椭圆上是否存在点P，使得以OA、OB为邻边的四边形OAPB为平行四边形（O为坐标原点）？若存在，求出所有的点P的坐标与直线l的方程；若不存在，请说明理由．

分析 （Ⅰ）运用离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）（1）设直线l：y=x-$\sqrt{3}$，代入椭圆方程，消去x，运用韦达定理，再由△AF1B的面积S=$\frac{1}{2}$|F1F2|•|y1-y2|，计算即可得到面积；
（2）假设椭圆上存在点P（m，n），使得以OA、OB为邻边的四边形OAPB为平行四边形．设直线方程为y=k（x-$\sqrt{3}$），代入椭圆方程，运用韦达定理，结合$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，则m=x1+x2，n=y1+y2，求得P的坐标，代入椭圆方程，即可得到k，即可判断P的存在和直线的方程．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得2c=2$\sqrt{3}$，即c=$\sqrt{3}$，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即有椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1；
（Ⅱ）（1）设直线l：y=x-$\sqrt{3}$，
代入椭圆方程，消去x，可得5y2+2$\sqrt{3}$y-1=0，
y1+y2=-$\frac{2\sqrt{3}}{5}$，y1y2=-$\frac{1}{5}$，
则△AF1B的面积S=$\frac{1}{2}$|F1F2|•|y1-y2|=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{3}$•$\sqrt{（-\frac{2\sqrt{3}}{5}）^{2}+\frac{4}{5}}$=$\frac{4\sqrt{6}}{5}$；
（2）假设椭圆上存在点P（m，n），使得以OA、OB为邻边的四边形OAPB为平行四边形．
设直线方程为y=k（x-$\sqrt{3}$），代入椭圆方程，可得（1+4k2）x2-8$\sqrt{3}$k2x+12k2-4=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，则m=x1+x2，n=y1+y2，
x1+x2=$\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x1x2=$\frac{12{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
y1+y2=k（x1+x2-2$\sqrt{3}$）=k（$\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$-2$\sqrt{3}$）=$\frac{-2\sqrt{3}k}{1+4{k}^{2}}$，
即有P（$\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{-2\sqrt{3}k}{1+4{k}^{2}}$），
代入椭圆方程可得$\frac{48{k}^{4}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}$+$\frac{12{k}^{2}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}$=1，
解得k2=$\frac{1}{8}$，解得k=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
故存在点P（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{\sqrt{6}}{6}$），或（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$），
则有直线l：y=$\frac{\sqrt{2}}{4}$x-$\frac{\sqrt{6}}{4}$或y=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$x+$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查离心率公式和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．

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