Question

以下四个命题：
①命题“若x²-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x²-3x+2≠0”；
②设函数f（x）=x+ln（x+

1+x2

），则对于任意实数a和b，“a+b＜0”是“f（a）+f（b）＜0”的充要条件；
③命题p：“?x∈R，x²+x+1＜0”，则命题p的否定为“?x∈R，x²+x+1≥0”；
④在△ABC中，A＜B是sinA＜sinB的充分不必要条件；
其中真命题为（　　）

• A、①
• B、①②
• C、①②③
• D、①②③④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题

分析：①命题“若p则q”的逆否命题为：“若￢q，则￢p”；
②由函数是增函数，且是奇函数，可以判定该命题是正确的；
③特称命题：?x₀，使P（x）的否定是：把?改为?，其它条件不变，然后否定结论，变为一个全称命题．
④在三角形中，“大角对大边，大边对大角”，结合正弦定理判定命题是否正确．

解答： 解：①命题“若x²-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x²-3x+2≠0”，是正确的；
②∵函数f（x）=x+ln（x+

1+x2

）是定义域R上的增函数，且是奇函数，∴a+b＜0，得a＜-b，有f（a）＜f（-b）=-f（b），
即f（a）+f（b）＜0；反之，也成立；∴命题正确；
③命题p：“?x∈R，x²+x+1＜0”，命题p的否定为“?x∈R，x²+x+1≥0”，是正确的；
④在△ABC中，

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R（R为三角形外接圆的半径），则a=2RsinA，b=2RsinB，
由“大边对大角”，得若a＞b即sinA＞sinB，则A＞B，
又“大角对大边”，得若A＞B，即sinA＞sinB，则a＞b，
∴在△ABC中，A＜B是sinA＜sinB的充要条件，④为假命题；
∴真命题为①②③；
故选：C．

点评：本题考查了命题真假的判断与应用，四种命题间的逆否关系，充要条件，解三角形的知识，是综合题．