Question

10．已知一次函数f（x）的图象关于直线x-y=0对称的图象为C，且f（f（1））=-1，若点$（{n，\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}}）（{n∈{N^*}}）$在曲线C上，并有${a_1}=1，\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}-\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=1（{n≥2}）$．
（1）求f（x）的解析式及曲线C的方程； 
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设${S_n}=\frac{a_1}{3!}+\frac{a_2}{4!}+\frac{a_3}{5!}+…+\frac{a_n}{{（{n+2}）!}}$，求$\lim_{n→∞}{S_n}$的值．

Answer 1

分析 （1）设f（x）=kx+b（k≠0），所以f[f（1）]=k²+kb+b=-1．因为f（x）的图象关于直线x-y=0的对称为C，所以曲线C为：f^-1（x）=$\frac{x}{k}$-$\frac{b}{k}$，故f^-1（n）-f^-1（n-1）=$\frac{1}{k}$．由此能够推导出f（x）的解析式及曲线C的方程．
（2）由f^-1（n）=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=n+1，由此能够求出数列{a_n}的通项公式．
（3）由$\frac{{a}_{n}}{（n+2）!}$=$\frac{n!}{（n+2）!}$=$\frac{1}{（n+2）（n+1）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，知${S_n}=\frac{a_1}{3!}+\frac{a_2}{4!}+\frac{a_3}{5!}+…+\frac{a_n}{{（{n+2}）!}}$=（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$，由此能够求出求$\lim_{n→∞}{S_n}$的值．

解答 解：（1）设f（x）=kx+b（k≠0），
∴f[f（1）]=k²+kb+b=-1．①
因为f（x）的图象关于直线x-y=0的对称为C，
∴曲线C为：f^-1（x）=$\frac{x}{k}$-$\frac{b}{k}$，
∴f^-1（n）=$\frac{n}{k}$-$\frac{b}{k}$，
f^-1（n-1）=$\frac{n-1}{k}$-$\frac{b}{k}$，
f^-1（n）-f^-1（n-1）=$\frac{1}{k}$．
又点（n，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$）（n∈N^*）在曲线C上，
∴f^-1（n）=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$②
f^-1（n-1）=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$，
∴f^-1（n）-f^-1（n-1）=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$-$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=1，
∴k=1，b=-1．
∴f（x）=x-1，
曲线C：y=x+1；
（2）由②f^-1（n）=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=n+1，
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=n（n-1）…3•2=n!，
∵a₁=1，
∴a_n=n!；
（3）∵$\frac{{a}_{n}}{（n+2）!}$=$\frac{n!}{（n+2）!}$=$\frac{1}{（n+2）（n+1）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴${S_n}=\frac{a_1}{3!}+\frac{a_2}{4!}+\frac{a_3}{5!}+…+\frac{a_n}{{（{n+2}）!}}$=（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$．
则$\lim_{n→∞}{S_n}$=$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列与函数的综合，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．