Question

（09年长沙一中一模理）（12分）在如图所示的多面体中，底面△ABC是边长为2的正三角形，DA和EC均垂直于平面ABC，且DA = 2，EC = 1．

（Ⅰ）求点A到平面BDE的距离；

（Ⅱ）求二面角BEDA的正切值．

Answer 1

解析：（Ⅰ）∵DE = BE =，BD =，

∴S_△BDE =，设点A到平面BDE的距离为h．

又∵S_△ABC =，V_DABC = V_ABDE

∴    ∴h =

即点A到平面BDE的距离为． ……6分

（Ⅱ）∵DA⊥平面ABC，∴平面DACE⊥平面ABC

取AC的中点M，连结BM，则BM⊥AC，BM⊥平面DACE．

过M作MN⊥DE，交DE于N，连结BN，则BN⊥DE，

∴∠BNM是所求二面角的平面角．

设AC、DE的延长线相交于点P，∵DA = 2EC，∴CP = 2

由△MNP∽△DAP得，MP = 3，DA = 2

DP =，∴MN =

又∵BM =，∴tan∠BNM =．  ……12分

应用空间向量求解参照计分