Question

（09年长沙一中一模理）（13分）已知函数f (x) = lnx，g (x) =(a＞0)，设F(x) = f (x) + g (x)．

（1）求函数F(x)的单调区间；

（2）若点为函数的图象上任意一点，当时，点P处的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值；

（3）是否存在实数m，使得函数y = g() + m 1的图象与函数y = f (1 + x²)的图象恰有四个不同的交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

解析：（1）F(x) = f (x) + g (x) = lnx +(x＞0)，F′(x) =．

∵a＞0，由F′(x)＞0x∈(a，+∞)，∴F(x)在[a，+∞)上单调递增．

由F′(x)＜.0x∈(0，a)，∴F(x)在(0，a]上单调递减．

∴F(x)的单调递减区间为(0，a]，单调递增区间为[a，+∞)．   ……3分

（2）F′(x) =，k = F′(x₀) =≤(0＜x₀≤3)

恒成立，

当x₀ = 1时，取得最大值．

∴a≥，∴a_min =．                                   ……6分

（3）若y = g+ m 1 =x² + m 的图象与y = f (1 + x²) = ln(x² +1)的图象恰有四个不同的交点，即有四个不同的根，亦即m = ln(x² + 1) x² +有四个不同的根．

令G(x) = ln(x² + 1) ，则G′(x) = x =

当x变化时，G′(x)、G (x)的变化情况如下表：

x	(∞，1)	(1，0)	(0，1)	(1，+∞)
G′(x)的符号	+		+
G (x)的单调性	增	减	增	减

……10分

由表格知：G (x)_极小值 = G (0) =，G (x)_极大值 = G (1) = G (1) = ln2＞0，       ……11分

画出草图和验证G(2) = G(2) = ln5 2 +＜可知，当m∈(，ln2)时，y = G (x)与y = m恰有四个不同的交点．

∴当m∈(，ln2)时，y =+ m 1的图象与y = f (1 + x²)的图象恰有四个不同的交点．                                                                  ……13分