Question

7．已知$sinα+sinβ=\frac{1}{3}$，求y=sinβ-cos²α的最值．

Answer 1

分析 根据题意，用sinα代替sinβ代入y中，利用三角恒等变换求出y的最大、最小值．

解答 解：∵$sinα+sinβ=\frac{1}{3}$，
∴$sinβ=\frac{1}{3}-sinα$，
∴$y=sinβ-{cos^2}α=\frac{1}{3}-sinα-{cos^2}α=\frac{1}{3}-sinα-（{1-{{sin}^2}α}）$
=${sin^2}α-sinα-\frac{2}{3}={（{sinα-\frac{1}{2}}）^2}-\frac{11}{12}$，
∵-1≤sinβ≤1，∴$-1≤\frac{1}{3}-sinα≤1$，
解得$-\frac{2}{3}≤sinα≤1$，
∴当$sinα=-\frac{2}{3}$时，${y_{max}}=\frac{4}{9}$，
当$sinα=\frac{1}{2}$时，${y_{min}}=-\frac{11}{12}$．

点评 本题考查了三角恒等变换与三角函数的图象、性质应用问题，是基础题．