Question

8．若函数f（x）=a（x-2e）•lnx+1有两个零点，则实数a的取值范围是（-∞，0）∪（$\frac{1}{e}$，+∞）．

Answer 1

分析 首先对f（x）求导f'（x）=a（1-$\frac{2e}{x}$+lnx），令h（x）=1-$\frac{2e}{x}$+lnx （x＞0），判断h（x）的单调性，结合参数a，分析f（x）的单调性即可．

解答 解：由题意，x＞0；
对f（x）求导：
f'（x）=a（x-2e）•$\frac{1}{x}$+a•lnx
=a-$\frac{2ae}{x}$+a•lnx
=a（1-$\frac{2e}{x}$+lnx）
令h（x）=1-$\frac{2e}{x}$+lnx （x＞0），
h'（x）=$\frac{2e}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$＞0，
∴h（x）在x＞0上增函数，当x→0时，h（x）→-∞；
∴h（x）与x轴在x＞0上有且仅有一个交点x₀=e，
当a=0时，f（x）=1与x轴无交点，不符合题意，故舍去；
当a＞0时，f（x）在（0，e）单调递减，（e，+∞）上单调递增，
∴f_min（e）=-ae+1＜0，⇒a＞$\frac{1}{e}$时说明f（x）与x轴有两个交点；
当a＜0时，f（x）在（0，e）单调递增，（e，+∞）上单调递减；
∴f_max（e）=-ae+1＞0 说明f（x）与x轴有两个交点；
综上：a的取值范围为（-∞，0）∪（$\frac{1}{e}$，+∞）．
故答案为：（-∞，0）∪（$\frac{1}{e}$，+∞）．

点评 本题主要考查了利用导数求函数的单调性，以及函数最值与图形交点问题，属中等题．