Question

13．若关于x的不等式2^x-ax≥0的解集为R，则a的取值范围是（　　）

• A． 0≤a≤ln2
• B． 0≤a≤eln2
• C． 0≤a≤e
• D． 0≤a≤1

Answer 1

分析 即y=2^x在直线y=ax的图象的上方，画出函数y=2^x和y=ax的图象，结合切线方程求出a的范围即可．

解答 解：若关于x的不等式2^x-ax≥0的解集为R，
则2^x≥ax对于?x∈R恒成立，即y=2^x在直线y=ax的图象的上方，
画出函数y=2^x和y=ax的图象，如图示：
，
设直线y=ax和y=2^x相切时切点是（x₀，${2}^{{x}_{0}}$），
则a=${2}^{{x}_{0}}$ln2，
故${2}^{{x}_{0}}$=${2}^{{x}_{0}}$ln2•x₀，
解得：x₀=$\frac{1}{ln2}$，
∴a=${2}^{\frac{1}{ln2}}$•ln2=eln2，
结合图象0≤a≤eln2，
故选：B．

点评 本题考查了函数恒成立问题，考查数形结合思想以及导数的应用，是一道中档题．