Question

11．图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，且该几何体的顶点都在同一球面上，则该几何体的外接球的表面积为（　　）

• A． 32π
• B． 48π
• C． 50π
• D． 64π

Answer 1

分析 通过还原三视图确定几何体，利用空间中的位置关系计算可得球的半径，进而利用面积公式即得结论．

解答 解：由三视图可知该几何体是一个底面是矩形的四棱锥，
记该几何体的外接球球心为O，半径R=OA，
则PA=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}+{4}^{2}}$=$2\sqrt{3}$，OP=R-$2\sqrt{3}$，
所以OA²=OP²+AP²，
又因为OP²=$（R-\frac{1}{2}×\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}）^{2}$=$（R-2\sqrt{2}）^{2}$，
所以R²=$（R-2\sqrt{2}）^{2}$+$（2\sqrt{3}）^{2}$，解得：R=$\frac{5}{\sqrt{2}}$，
所以所求面积S=4π×R²=4π×$（\frac{5}{\sqrt{2}}）^{2}$=50π，
故选：C．

点评 本题考查三视图求面积，考查空间想象能力，找出球心是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．