Question

已知f（x）=（2+aⁿx）ⁿ，n∈N^*，a∈R，且a≠0．
（Ⅰ）当n=3时，f（x）的展开式的第三项的系数是第二项系数的4倍，求a的值；
（Ⅱ）当n=4时，若f(x)=b1+b2x+b3x2+b4x3+b5x4，且对任意的整数i，都有

b

i+1

＞bi（1≤i≤4）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当n=3，求得f（x）的展开式的第二项系数为

C

1 3

•22•a3，第三项系数为

C

2 3

•2•a6．由条件可得2a⁶=4•4•a³，由此求得a=2的值．
（Ⅱ）由题意得

b

i

=

C

i-1 4

•25-i•(a4)i-1，由

b

i+1

＞

b

i

利用组合数的计算公式可得a4＞

2i

5-i

对i=1，2…，4都成立．再由函数g(i)=

2i

5-i

在[1，4]上是递增，可得a⁴＞8，由此求得a的范围．

解答：解：（Ⅰ）当n=3，f（x）=（2+a³x）³，所以f（x）的展开式的第二项系数为

C

1 3

•22•a3，第三项系数为

C

2 3

•2•a6．
由条件可得2a⁶=4•4•a³，又因为a≠0，所以a=2．…（4分）
（Ⅱ）由题意得

b

i

=

C

i-1 4

•25-i•(a4)i-1，由

b

i+1

＞

b

i

得

4!

i!(4-i)!

•24-i•(a4)i＞

4!

(i-1)!•(5-i)!

•25-i•(a4)i-1，
即a4＞

2i

5-i

对i=1，2…，4都成立．…（6分）
又因为函数g(i)=

2i

5-i

在[1，4]上是递增，所以a⁴＞8，…（7分）
求得a＞2

3

4

，或a＜-2

3

4

．…（8分）

点评：本题主要考查二项式定理的应用，组合数的计算公式的应用，属于中档题．