Question

（2013•烟台二模）已知f（x）=

1

4

x²+sin(

π

2

+x)，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象是（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：先化简f（x）=

1

4

x²+sin(

π

2

+x)=

1

4

x²+cosx，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B，D．再根据导函数的导函数小于0的x的范围，确定导函数（-

π

3

，

π

3

）上单调增减，从而排除C，即可得出正确答案．

解答：解：由f（x）=

1

4

x²+sin(

π

2

+x)=

1

4

x²+cosx，
∴f'（x）=

1

2

x-sinx，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D．
又f''（x）=

1

2

-cosx，当-

π

3

＜x＜

π

3

时，cosx＞

1

2

，∴f''（x）＜0，
故函数y=f'（x）在区间（-

π

3

，

π

3

）上单调递减；
故排除C．
故选A．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．