Question

已知f（x）=2mx+m²+2，m≠0，m∈R，x∈R．若|x₁|+|x₂|=1，则

f(x1)

f(x2)

的取值范围是

[1-

2

2

，2+

2

]

．

Answer 1

分析：（i）法一：目标函数法：①分类讨论去绝对值找x₁，x₂的关系．②将

f(x1)

f(x2)

化为一个变量的函数g（x₂）．
（ii）法二：数形结合：①“数”难时，要考虑“形”．②C：|x₁|+|x₂|=1为正方形．③“分式”联想到斜率．

解答：解：解法一：
先考虑0≤x₁≤1，0≤x₂≤1的情形，
则x₁+x₂=1

f(x1)

f(x2)

=

2mx1+m2+2

2mx2+m2+2

=

2m(1-x2)+m2+2

2mx2+m2+2

=-1+

m+1+ 2 m

x2+ m 2 + 1 m

当m＞0，令函数g（x）=-1+

m+1+ 2 m

x+ m 2 + 1 m

，x∈[0，1]，
由单调性可得：g（1）≤g（x）≤g（0）．其中，g(1)=1-

2

m+ 2 m +2

≥2-

2

，g(0)=1+

2

m+ 1 m

≤1+

2

2

当m＜0，同理．x₁、x₂在其他范围同理．
综上可得[1-

2

2

，2+

2

]．
解法二：

f(x1)

f(x2)

=

2mx1+m2+2

2mx2+m2+2

=

x1+ m2+2 2m

x2+ m2+2 2m

，∴

f(x1)

f(x2)

为点P(-

m2+2

2m

，-

m2+2

2m

)与点Q（x₂，x₁）连线的斜率．P点在直线y=x(|x|≥

2

)上．
由图可得直线PQ斜率的范围，即

f(x1)

f(x2)

的范围．

点评：熟练掌握分类讨论、数形结合的思想方法、函数的单调性、直线的斜率公式及意义是解题的关键．