Question

14．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，BC∥AD，AB⊥AD，PA=AB=BC=1，AD=2．
（1）求三棱锥P-ACD的外接球的表面积；
（2）若M为PB的中点，问在AD上是否存在一点E，使AM∥平面PCE？若存在，求$\frac{AE}{ED}$的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据四棱锥P-ABCD中的垂直关系与数量关系，得出PD是三棱锥P-ACD的外接球直径，由此求出该三棱锥外接球的表面积；
（2）以AB、AD和AP为x、y和z轴，建立空间直角坐标系，利用平面PCE的法向量$\overrightarrow{n}$与$\overrightarrow{AM}$垂直，$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{n}$=0，求出$\frac{AE}{ED}$的值，即可得出正确的结论．

解答 解：（1）四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，BC∥AD，AB⊥AD，PA=AB=BC=1，AD=2；
∴PD=$\sqrt{{PA}^{2}{+AD}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}{+2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
AC=$\sqrt{{AB}^{2}{+BC}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}{+1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴PC=$\sqrt{{PA}^{2}{+AC}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}{+（\sqrt{2}）}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
CD=$\sqrt{{（\frac{1}{2}AD）}^{2}{+AD}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}{+1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴PC²+CD²=PD²，
∴PC⊥CD；
∴PD是三棱锥P-ACD外接球的直径，
∴该三棱锥外接球的表面积为
S=4π•${（\frac{PD}{2}）}^{2}$=π•PD²=5π；
（2）假设线段AD上存在一点E，使AM∥平面PEC，
不妨设$\frac{AE}{ED}$=λ，λ＞0，
则$\overrightarrow{AD}$=（1+λ）$\overrightarrow{ED}$，
以AB、AD和AP为x、y和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示；
∴$\overrightarrow{AD}$=（0，2，0），
$\overrightarrow{ED}$=$\frac{1}{1+λ}$$\overrightarrow{AD}$=（0，$\frac{2}{1+λ}$，0），
∴$\overrightarrow{AE}$=λ$\overrightarrow{ED}$=（0，$\frac{2λ}{1+λ}$，0）；
∴$\overrightarrow{EP}$=（0，-$\frac{2λ}{1+λ}$，1），$\overrightarrow{EC}$=（1，1-$\frac{2λ}{1+λ}$，0），
设平面PCE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EC}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2λ}{1+λ}•y+z=0}\\{x+（1-\frac{2λ}{1+λ}）y=0}\end{array}\right.$，
解得$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{λ+1}{λ-1}$，$\frac{2λ}{λ-1}$）；
又M（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$），∴$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$）；
当AM∥平面PCE时，$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{n}$=0，
∴$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{2λ}{λ-1}$=0，
解得λ=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AE}{ED}$=$\frac{1}{3}$时，AD上存在一点E，使AM∥平面PEC．

点评 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了空间直角坐标系与法向量的应用问题，
考查了空间想象能力与逻辑推理能力，是综合性题目．