Question

在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD底面ABCD，PDCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，，，．

(1)求证：BC平面PBD：
(2)求直线AP与平面PDB所成角的正弦值；
(3)设E为侧棱PC上异于端点的一点，，试确定的值，使得二面角E－BD－P的余弦值为．

Answer 1

（1）参考解析；（2）;（3）

试题分析：（1）由PDCD，底面ABCD是直角梯形，如图建立空间直角坐标系，，，写出点D,B,C,P,的坐标，分别写出相应的向量，即可得向量BD与向量CB的数量积为零，向量PD与向量BC的数量积为零.由向量关系转化为空间线面中位置关系，即可得到结论.
（2）要求直线AP与平面PDB所成角的正弦值，等价于求出平面PBD的法向量与向量AP所成的角余弦值即可.
（3）要使得二面角E－BD－P的余弦值为，关键是求出平面EBD的法向量，由于平面PBD的法向量已知，再通过两法向量的夹角的绝对值等于.即可解出的值.
试题解析：（1）证明：因为侧面⊥底面，⊥，

所以⊥底面，所以⊥.
又因为＝，即⊥，
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以
所以，所以.
由⊥底面，可得,
又因为，所以⊥平面.
（2）由（1）知平面的一个法向量为，
所以
设直线AP与平面PDB所成角为，则
(3)因为，又，设
则
所以，.设平面的法向量为，
因为，由，，
得，令，则可得平面的一个法向量为所以，
解得或，又由题意知，故.