Question

如下图，在四棱柱中，底面和侧面都
是矩形，是的中点，，.
（1）求证：
（2）求证：平面；
（3）若平面与平面所成的锐二面角的大小为，求线段的长度.

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.

试题分析：（1）利用已知条件得到，，从而证明平面，得到再结合证明平面，从而得到；（2）连接、证明四边形为平行四边形，连接对角线的交点与点的连线为的中位线，再利用线面平行的判定定理即可证明平面；（3）在（1）的前提条件中平面下，选择以点为坐标原点，、分别为轴、轴的空间直角坐标系，设，利用法向量将条件“平面与平面所成的锐二面角的大小为”进行转化，从而求出的长度.
试题解析：（1）因为底面和侧面是矩形，
所以，，
又因为，
所以平面，
因为平面，
所以；
（2）因为，，
所以四边形是平行四边形.
连接交于点，连接，则为的中点.
在中，因为，，
所以.
又因为平面，平面，
所以平面；
（3）由（1）可知，
又因为，，
所以平面.
设G为AB的中点，以E为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴
如图建立空间直角坐标系，

设，则、、、、、，
设平面法向量为，
因为，，
由，得
令，得.
设平面法向量为，
因为，，
由得
令，得.
由平面与平面所成的锐二面角的大小为，
得，
解得.