Question

如图，等腰梯形ABCD,AD//BC,P是平面ABCD外一点，P在平面ABCD的射影O恰在AD上，.

（1）证明：；
（2）求二面角A-BP-D的余弦值.

Answer 1

（1）见解析(2)

试题分析：
(1)要证明直线PA垂直BO,根据线面垂直的性质只需要证明BO垂直于PA所在的面PAD即可,首先O是点P在面ABCD上的投影,则有PO垂直于面ABCD,即有BO与PO垂直,三角形ABO的三条边已知,则利用三角形的勾股定理即可证明BO垂直于AD,即有BO垂直于面PAD内两条相交的直线,则BO垂直于面PAD,故有BO垂直于PA.
(2)根据(1)利用AD,PO,BO两两垂直,即可分别设为x,y,z轴建立三维直角坐标系,利用坐标法来求解二面角,即分别求出面ABP与面BPD的法向量,法向量的夹角即为二面角或其补角,根据观察不能发现该二面角是钝角,则利用向量内积的定义即可求出该二面角的余弦值.
试题解析：
（1）在中，，
则，∴⊥.
∵⊥平面，∴⊥.
又平面，平面，且，
∴⊥平面.
又平面，∴⊥.   6分

（2）由题知，以为坐标原点，为轴，
建立如图空间直角坐标系.
由已知，，∴.
因为等腰梯形，，，
所以，∴，，
，，    8分
所以，，
，.
设平面的法向量为，则，
令，故，即.
设平面的法向量为，
则，
令，∴，即.
故，
设二面角的大小为，由图可知是钝角，
所以二面角的余弦值为.    12分