已知曲线C:y2=2x+a在点Pn(n.2n+a)处的切线ln的斜率为kn.直线ln交x轴.y轴分别于点An(xn.0).Bn(0.yn).且|x0|=|y0|．给出以下结论:①a=1,②当n∈N*时.yn的最小值为54,③当n∈N*时.kn＜2sin12n+1,④当n∈N*时.记数列{kn}的前n项和为Sn.则Sn＜2(n+1-1)．其中.正确的结论有 (写出所有正确� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知曲线C：y²=2x+a在点P_n（n，

2n+a

）（a＞0，n∈N）处的切线l_n的斜率为k_n，直线l_n交x轴，y轴分别于点A_n（x_n，0），B_n（0，y_n），且|x₀|=|y₀|．给出以下结论：
①a=1；
②当n∈N^*时，y_n的最小值为

；
③当n∈N^*时，k_n＜

sin

2n+1

；
④当n∈N^*时，记数列{k_n}的前n项和为S_n，则S_n＜

(

n+1

-1)．
其中，正确的结论有

（写出所有正确结论的序号）

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的概念及应用,点列、递归数列与数学归纳法

分析：求出导数，求出切线的斜率，求出切线方程，令x=0，y=0，n=0，得到方程，解得a，即可判断①；
令

2n+1

=t（t≥

），得到y_n在t≥

上递增，即可得到最小值，即可判断②；
令u=

2n+1

（0＜u≤

），则有y=

sinu-u，求出导数，判断单调性，即可判断③；
由于（

a+b

）²≤

a2+b2

（当且仅当a=b取等号），则有

n+1

＜

n+n+1

，则有

2n+1

＜

n+1

（

n+1

），再由裂项相消求和，即可判断④．

解答： 解：对于①，由y²=2x+a，当x＞0时，y=

2x+a

，
y′=

2x+a

，则k_n=

2n+a

，
切线方程为y-

2n+a

（x-n），
令x=0，则y=

n+a

2n+a

，令y=0，则x=n-（2n+a）=-n-a，
即有x_n=-n-a，y_n=

n+a

2n+a

，
由于|x₀|=|y₀|，则|a|=|

|，解得，a=1，
则①正确；
对于②，由于y_n=

n+1

2n+1

，令

2n+1

=t（t≥

），则y_n=

t2-1

（t+

）在t≥

上递增，
则有t=

取得最小值，且为

（

）=

，则②错误；
对于③，当n∈N^*时，k_n=

2n+1

，令u=

2n+1

（0＜u≤

），则有y=

sinu-u，y′=

cosu-1，
由于0＜u≤

＜

，则

≤cosu＜1，即有y′＞0，y在0＜u≤

上递增，即有y＞0，
即有k_n＜

sin

2n+1

成立，则③正确；
对于④，当n∈N^*时，记数列{k_n}的前n项和为S_n，k_n=

2n+1

由于（

a+b

）²≤

a2+b2

（当且仅当a=b取等号），
则a+b≤

2(a2+b2)

，则有

n+1

＜

n+n+1

，
则有

2n+1

＜

n+1

（

n+1

），
则S_n=

+…+

2n+1

＜

[（

-1）+（

）+…+（

n+1

）]
=

（

n+1

-1）．则④正确．
故答案为：①③④

点评：本题考查导数的运用：求切线方程，考查函数的单调性的运用：求最值和比较大小，考查数列的求和：放缩和裂项相消法，属于中档题和易错题．

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