题目内容

已知曲线C：y2=2x+a在点Pn（n，
2n+a
）（a＞0，n∈N）处的切线ln的斜率为kn，直线ln交x轴，y轴分别于点An（xn，0），Bn（0，yn），且|x0|=|y0|．给出以下结论：
①a=1；
②当n∈N*时，yn的最小值为
5
4
；
③当n∈N*时，kn＜
2
sin
1
2n+1
；
④当n∈N*时，记数列{kn}的前n项和为Sn，则Sn＜
2
(
n+1
-1)．
其中，正确的结论有
 
（写出所有正确结论的序号）
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：计算题,函数的性质及应用,导数的概念及应用,点列、递归数列与数学归纳法
分析：求出导数，求出切线的斜率，求出切线方程，令x=0，y=0，n=0，得到方程，解得a，即可判断①；
令
2n+1
=t（t≥
3
），得到yn在t≥
3
上递增，即可得到最小值，即可判断②；
令u=
1
2n+1
（0＜u≤
1
3
），则有y=
2
sinu-u，求出导数，判断单调性，即可判断③；
由于（
a+b
2
）2≤
a2+b2
2
（当且仅当a=b取等号），则有
n
+
n+1
＜
2
n+n+1
，则有
1
2n+1
＜
2
n
+
n+1
=
2
（
n+1
-
n
），再由裂项相消求和，即可判断④．
解答： 解：对于①，由y2=2x+a，当x＞0时，y=
2x+a
，
y′=
1
2x+a
，则kn=
1
2n+a
，
切线方程为y-
2n+a
=
1
2n+a
（x-n），
令x=0，则y=
n+a
2n+a
，令y=0，则x=n-（2n+a）=-n-a，
即有xn=-n-a，yn=
n+a
2n+a
，
由于|x0|=|y0|，则|a|=|
a
a
|，解得，a=1，
则①正确；
对于②，由于yn=
n+1
2n+1
，令
2n+1
=t（t≥
3
），则yn=
1+
t2-1
2
t
=
1
2
（t+
1
t
）在t≥
3
上递增，
则有t=
3
取得最小值，且为
1
2
（
3
+
3
3
）=
2
3
3
，则②错误；
对于③，当n∈N*时，kn=
1
2n+1
，令u=
1
2n+1
（0＜u≤
1
3
），则有y=
2
sinu-u，y′=
2
cosu-1，
由于0＜u≤
1
3
＜
π
4
，则
1
2
≤cosu＜1，即有y′＞0，y在0＜u≤
1
3
上递增，即有y＞0，
即有kn＜
2
sin
1
2n+1
成立，则③正确；
对于④，当n∈N*时，记数列{kn}的前n项和为Sn，kn=
1
2n+1

由于（
a+b
2
）2≤
a2+b2
2
（当且仅当a=b取等号），
则a+b≤
2(a2+b2)
，则有
n
+
n+1
＜
2
n+n+1
，
则有
1
2n+1
＜
2
n
+
n+1
=
2
（
n+1
-
n
），
则Sn=
1
3
+
1
5
+…+
1
2n+1
＜
2
[（
2
-1）+（
3
-
2
）+…+（
n+1
-
n
）]
=
2
（
n+1
-1）．则④正确．
故答案为：①③④
点评：本题考查导数的运用：求切线方程，考查函数的单调性的运用：求最值和比较大小，考查数列的求和：放缩和裂项相消法，属于中档题和易错题．
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