Question

1．若数列{a_n}的通项公式a_n=5（$\frac{2}{5}$）^2n-2-4（$\frac{2}{5}$）^n-1（n∈N^*），{a_n}的最大项为第p项，最小项为第q项，则q-p等于（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 设$（\frac{2}{5}）^{n-1}$=t∈（0，1]，a_n=5（$\frac{2}{5}$）^2n-2-4（$\frac{2}{5}$）^n-1（n∈N^*），可得a_n=5t²-4t=$5（t-\frac{2}{5}）^{2}$-$\frac{4}{5}$∈$[-\frac{4}{5}，1]$，利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：设$（\frac{2}{5}）^{n-1}$=t∈（0，1]，a_n=5（$\frac{2}{5}$）^2n-2-4（$\frac{2}{5}$）^n-1（n∈N^*），
∴a_n=5t²-4t=$5（t-\frac{2}{5}）^{2}$-$\frac{4}{5}$，
∴a_n∈$[-\frac{4}{5}，1]$，
当且仅当n=1时，t=1，此时a_n取得最大值；同理n=2时，a_n取得最小值．
∴q-p=2-1=1，
故选：A．

点评 本题考查了二次函数的单调性、指数函数的单调性、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．