Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中
（1）求证：平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD；
（2）求二面角A-A₁B-D的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由AC⊥BD，AA₁⊥BD，AC∩AA₁，能证明BD⊥平面ACC₁A₁，从而得到平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD．
（2）设正方体的棱长为1，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-A₁B-D的余弦值．

解答： （1）证明：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵AC⊥BD，AA₁⊥BD，AC∩AA₁，
∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∵BD?平面A₁BD，∴平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD．
（2）解：设正方体的棱长为1，以D为原点，
DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），A₁（1，0，1），
B（1，1，0），D（0，0，0），

DA1

=（1，0，1），

DB

=（1，1，0），
设平面DBA₁的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • DA1 =x+z=0 n • DB =x+y=0

，取x=1，得

n

=(1，-1，-1)，
又平面AA₁B的法向量为

m

=(1，0，0)，
∴cos＜

n

，

m

＞=

1

3

=

3

3

，
∴二面角A-A₁B-D的余弦值为

3

3

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．