Question

【题目】已知函数.

（1）若在处的切线与直线垂直，求的极值；

（2）若函数的图象恒在直线的下方.

①求实数的取值范围；

②求证:对任意正整数，都有.

Answer 1

【答案】（1）极大值为，无极小值； （2）①；②见解析 .

【解析】

（1）利用导数的几何意义，根据根据在处的切线与直线垂直，求得m，确定函数再求极值.

（2）①根据函数的图象恒在直线的下方，则有 ，即在上恒成立，转化为恒成立，令求其最大值即可.

（1）由

可得，

所以，即.

则，，

令可得，

当时，，当时，.

在上单调递减，在上单调递增，

的极大值为，无极小值.

（2）①由条件可知：只需，即在上恒成立.

即，而，，恒成立.

令，则，

令可得.

当时，当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

故的最大值为，，

即实数的取值范围是.

②由①可知，时，，即对任意的恒成立.

令，则，，

即，

.