Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且的面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过原点作圆的两条切线，切点分别为，求.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据的面积可求得椭圆中的，将点带入椭圆标准方程，结合椭圆中的关系即可求得椭圆的方程；

（2）表示出圆的方程，分析斜率存在与不存在两种情况：当斜率不存在时，易知直线与圆相切，可求得切点坐标，当斜率存在时，设出直线方程，由切线性质及点到直线距离公式可求得斜率，进而将直线方程与圆方程联立，求得切点坐标，即可由平面向量数量积的坐标运算求得的值.

（1）设椭圆的焦距为2c，

由的面积为可得，

，

则，由点在椭圆上可得，

解之得，

故椭圆的方程为.

（2）过原点且斜率不存在的直线显然与圆相切，切点为，

当斜率存在时，设过原点的直线为，即，

由圆心到直线的距离恰好等于圆的半径可得

，解之得，

由可得，即，

，，即点，

，

.