Question

（本小题满分13分）已知函数，其中为常数，且．

（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；

（2）若函数在区间上的最小值为，求的值．

Answer 1

（1）3;（2）．

【解析】

试题分析：（1）由题意，求导得，由导数的几何意义可得曲线在点处的切线斜率为，从而得到（2）为了研究函数在区间上的最值问题，应研究函数在此区间的单调性，为此应对分三种情况讨论：当时、当时、当时，在以上三种情况下分别研究导数值的正负，进而确定函数的单调性，求出函数的最小值，

①当时，，不符合题意； ②当时，令，得；③当时，，不符合题意，因此 ．

试题解析：() 2分

（1）因为曲线在点（1，）处的切线与直线垂直，

所以，即 4分

（2）当时，在（1，2）上恒成立，这时在[1，2]上为增函数,

． 6分

当时，由得，，

对于有在[1，a]上为减函数，

对于有在[a，2]上为增函数，

． 8分

当时，在（1，2）上恒成立，这时在[1，2]上为减函数，

9分

于是，①当时，，不符合题意； 10分

②当时，，令，得； 11分

③当时，，不符合题意． 12分

综上所述，． 13分

考点：1、导数的几何意义；2、函数的单调性与导数正负的关系；3、应用导数求最值问题．