Question

6．在如图所示的几何体中，正方形ABCD和矩形ABEF所在的平面互相垂直，M为AF上一点，N为CE上一点．
（1）若CF∥平面MBD，求$\frac{AM}{AF}$的值；
（2）若BE=2AB=2，且CF⊥平面BDN，求四棱锥N-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）连结AC，交BD于O，连结OM，由CF∥平面MBD可得FC∥OM，故而$\frac{AM}{AF}=\frac{AO}{AC}$=$\frac{1}{2}$；
（2）求出CE，由CF⊥平面BDN可得CF⊥DN．根据相似三角形得$\frac{CN}{CD}=\frac{EF}{CE}$，解出CN，从而求出N到底面ABCD的距离．

解答 解：（1）连结AC，交BD于O，连结OM，
∵四边形ABCD是正方形，∴AO=OC．
∵CF∥平面MBD，CF?平面FAC，平面FAC∩平面MBD=OM，
∴FC∥OM，
∴$\frac{AM}{AF}=\frac{AO}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
（2）∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，BE⊥AB，BE?平面ABEF，
∴BE⊥平面ABCD，∵BC?平面ABCD，
∴BE⊥BC，∵BE=2，BC=1，∴CE=$\sqrt{B{E}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∵CF⊥平面BDN，DN?平面BDN，∴CF⊥DN．
∴△DCN∽△CEF，∴$\frac{CN}{CD}=\frac{EF}{CE}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，∴CN=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．∴$\frac{CN}{CE}$=$\frac{1}{5}$．
∴V=$\frac{1}{3}$S_{正方形ABCD}•$\frac{1}{5}$BE=$\frac{1}{3}×{1}^{2}$×$\frac{1}{5}×2$=$\frac{2}{15}$．

点评 本题考查了线面平行的性质，面面垂直的性质，棱锥的体积计算，求出CN的长是解题关键．