Question

1．已知实数20、m²、52构成一个等差数列，则圆锥曲线$\frac{{x}^{2}}{m}+{y}^{2}=1$的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{30}}{6}$
• B． $\sqrt{7}$
• C． $\frac{\sqrt{30}}{6}$或$\sqrt{7}$
• D． $\frac{5}{6}$或7

Answer 1

分析 由20、m²、52构成一个等差数列，得到m的值．利用圆锥曲线是椭圆；圆锥曲线是双曲线，由此入手能求出离心率．

解答 解：∵20、m²、52构成一个等差数列，
∴m=±6．
当m=6时，圆锥曲线$\frac{{x}^{2}}{m}+{y}^{2}=1$是椭圆，它的离心率是e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{30}}{6}$；
当m=-6时，圆锥曲线$\frac{{x}^{2}}{m}+{y}^{2}=1$是双曲线，它的离心率是e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{1+6}}{1}$=$\sqrt{7}$．
故选：C．

点评 本题考查圆锥曲线的离心率的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理运用，注意分类讨论思想的灵活运用．