Question

已知函数f(x)=

3

2

sin2x-cos2x-

1

2

，x∈R．
（Ⅰ）当x∈[-

π

12

，

5π

12

]时，求函数f（x）的最小值和最大值
（Ⅱ）设△ABC的对边分别为a，b，c，且c=

3

，f（C）=0，若sinB=2sinA，求a，b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x的范围求出这个叫哦的范围，利用正弦函数的值域即可确定出f（x）的最小值和最大值；
（Ⅱ）由f（C）=0，以及第一问确定的函数解析式，求出C的度数，利用正弦定理化简sinB=2sinA，得到b=2a，再利用余弦定理列出关系式，将b=2a，c，以及cosC的值代入求出a与b的值即可．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

）-1，
∵x∈[-

π

12

，

5π

12

]，
∴2x-

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴-

3

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，
即-1-

3

2

≤sin（2x-

π

6

）-1≤0，
∴f（x）的最小值为-1-

3

2

，最大值为0；
（Ⅱ）由f（C）=0，得f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，
即sin（2C-

π

6

）=1，
∵C∈（0，π），
∴2C-

π

6

∈（-

π

6

，

11π

6

），
∴2C-

π

6

=

π

2

，
即C=

π

3

，
由正弦定理化简sinB=2sinA，得：b=2a，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，
将c=

3

，b=2a，cosC=

1

2

，
代入得：3=a²+4a²-2a²=3a²，
解得：a=1，
则a=1，b=2a=2．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．