Question

11．如图正四面体（所有棱长都相等）D-ABC中，动点P在平面BCD上，且满足∠PAD=30°，若点P在平面ABC上的射影为P′，则sin∠P′AB的最大值为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{7}}{7}$
• B． $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由题意可知：当点P取线段CD的中点时，可得到∠P′AB的最大，并且得到sin∠P′AB的最大值．过D作DO⊥平面ABC，可得点O是等边三角形的中心，连接CO延长与AB相交于点M，CM⊥AB．经过点P作PP′⊥CO，垂足为点P′，则PP′⊥平面ABC，点P′为点P在平面ABC的射影，则点P′为CO的中点．进而得出答案．

解答 解：由题意可知：当点P取线段CD的中点时，可得到∠P′AB的最大，并且得到sin∠P′AB的最大值．
过D作DO⊥平面ABC，则点O是等边三角形的中心，连接CO延长与AB相交于点M，CM⊥AB．经过点P作PP′⊥CO，垂足为点P′，则PP′⊥平面ABC，点P′为点P在平面ABC的射影，则点P′为CO的中点．
不妨取AB=2，则MP′=$\frac{2}{3}×\sqrt{3}$，∴AP′=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{3}$．
sin∠P′AM=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{21}}{3}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
故选：A．

点评 本题考查了正四面体的性质、线面垂直的判定与性质定理、等边三角形的性质、空间角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．