Question

3．已知抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴上，且过点（4，4）．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点P是抛物线上一动点，M点是PF的中点，求点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设抛物线方程y²=2px（p＞0），将点（4，4），代入即可求得抛物线方程及焦点坐标；
（Ⅱ）M点是PF的中点，由中点坐标公式，求得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2x-1}\\{{y}_{0}=2y}\end{array}\right.$，代入抛物线方程，求得点M的轨迹方程．

解答 解：（Ⅰ）由抛物线焦点F在x轴上，且过点（4，4），设抛物线方程y²=2px（p＞0）．
将点（4，4），代入抛物线方程，16=2×4p，解得：p=2，
∴抛物线的标准方程y²=4x，焦点坐标（1，0）；
（Ⅱ）设M（x，y），P（x₀，y₀），F（1，0），M点是PF的中点，
则x₀+1=2x，0+x₀=2y，
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2x-1}\\{{y}_{0}=2y}\end{array}\right.$，
P是抛物线上一动点，y₀²=4x₀，代入（2y）²=4（2x-1），
∴y²=2x-1．

点评 本题考查抛物线标准方程及简单几何性质，考查中点坐标公式，考查待定系数法，属于中档题．