Question

1．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，右焦点为（$\sqrt{3}$，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆交于A，B两点，求证：点O到直线AB的距离为定值；
（3）在（2）的条件下，求△OAB的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据焦点和离心率列方程解出a，b，c；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理及点到直线公式，可证得结论；
（3）由弦长公式，求出弦AB的距离最大值即可．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}\right.$得a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1，
可得椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…（3分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若k存在，则设直线AB：y=kx+m．
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x^2}+4{y^2}=4\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0…（5分）
△＞0，$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{1+4{k^2}}}\\{x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-4}}{{1+4{k^2}}}\end{array}\right.$…（6分）
有OA⊥OB知x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（k x₁+m） （k x₂+m）
=（1+k²） x₁x₂+k m（x₁+x₂）=0     …（8分）
代入，得5 m²=4 k²+4原点到直 线AB的距离d=$\frac{|m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．…（9分）
当AB的斜率不存在时，|x₁|=|y₁|，可得$|{x_1}|=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}=d$，依然成立．
所以点O到直线AB的距离为定值$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$…（10分）
说明：直接设直线OA的斜率为K相应给分
（3）${|{AB}|^2}=（1+{k^2}）{（{x_1}-{x_2}）^2}=（1+{k^2}）[{{{（\frac{8km}{{1+4{k^2}}}）}^2}-4×\frac{{4{m^2}-4}}{{1+4{k^2}}}}]$
=$\frac{{2\sqrt{4+4{k^2}}\sqrt{16{k^2}+1}}}{{1+4{k^2}}}≤\frac{{4+4{k^2}+16{k^2}+1}}{{1+4{k^2}}}=5$…（12分）
当且仅当$16{k^2}=\frac{1}{k^2}$，即$k=±\frac{1}{2}$时等号成立．…（13分）
当斜率不存在时，经检验|AB|＜$\sqrt{5}$．所以S_△OAB≤$\frac{1}{2}×\frac{{2\sqrt{5}}}{5}×\sqrt{5}=1$
综合得：△OAB面积的最大值为1．…（14分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查点到直线的距离为定值的证明，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和弦长公式的合理运用