Question

9．已知函数f（x）=e^x+a-lnx．
（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；
（2）当a≥-2时，证明：f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（1）=0，求出a的值即可；（2）问题转化为证明e^x-2-lnx＞0，令g（x）=e^x-2-lnx（x＞0），根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）函数f（x）=e^x+a-lnx定义域为（0，+∞），
$f'（x）={{e}^{x+a}}-\frac{1}{x}$，
由已知得f′（1）=0，即：e^a+1-1=0，所以a=-1；                                   
  （2）由于a≥-2，所以e^x+a≥e^x-2，
所以只需证明e^x-2-lnx＞0，
令g（x）=e^x-2-lnx（x＞0），则g′（x）=e^x-2-$\frac{1}{x}$，
所以g′（x）在（0，+∞）上为增函数，
而g′（1）=e^-1-1＜0，g′（2）=1-$\frac{1}{2}$＞0，
所以g′（x）在（0，+∞）上有唯一零点x₀，
且x₀∈（1，2），
当x∈（0，x₀）时，g′（x）＜0，当x∈（x₀，+∞）时，g′（x）＞0，
所以g（x）的最小值为g（x₀），
由g′（x₀）=${e}^{{x}_{0}-2}$-$\frac{1}{{x}_{0}}$=0，
得：${e}^{{x}_{0}-2}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$，lnx₀=2-x₀，
所以g（x₀）=${e}^{{x}_{0}-2}$-lnx₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$+x₀-2≥0，
而x₀∈（1，2），所以g（x₀）＞0，所以g（x）＞g（x₀）＞0，
即：e^x-2-lnx＞0，所以，当a≥-2时，f（x）＞0．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．