Question

【题目】已知直线，圆.

（1）试证明：不论为何实数，直线和圆总有两个交点；

（2）当取何值时，直线被圆截得的弦长最短，并求出最短弦的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2），最短弦长为4.

【解析】

（1）根据圆的方程，得到圆心坐标与半径，再由点到直线距离公式，求出圆心到直线的距离，比较与的大小，即可得出结果；

（2）先根据圆的性质，得到弦长（是圆的半径，是圆心到直线的距离），由题意，得到直线恒过点，当与直线垂直时，所求弦长最短，从而可求出结果.

（1）因为圆的圆心为，半径，

圆心到直线的距离，

而，即，

∴不论为何实数，直线和圆总有两个交点；

（2）根据圆的性质可得：弦长的一半，圆心到弦的距离，圆的半径，三者满足勾股定理；

即弦长（是圆的半径，是圆心到直线的距离），

而圆心，直线恒过点，

因此当与直线垂直时，所求弦长最短.

此时，，，

所求最短弦长为.