Question

设a∈R，函数f（x）=lnx-ax．
（1）若a=3，求曲线y=f（x）在P（1，-3）处的切线方程；
（2）若f（x）有零点，求实数a的取值范围；
（3）若f（x）有两个相异零点x₁，x₂，求证：x₁•x₂＞e²．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数零点的判定定理

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（1）求出当a=3 时的导数，再求切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；
（2）对a讨论，分a=0，a＜0，a＞0，可通过解方程和零点存在定理以及应用导数求极值，令极大值不小于0，即可得到；
（3）原不等式x₁x₂＞e²?lnx₁+lnx₂＞2?a（x₁+x₂）＞2?

lnx1-lnx2

x1-x2

＞

2

x1+x2

?ln

x1

x2

＞

2(x1-x2)

x1+x2

，
令

x1

x2

=t，则t＞1，于是ln

x1

x2

＞

2(x1-x2)

x1+x2

?lnt＞

2(t-1)

t+1

．设函数g（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

（t＞1）．求出导数，判断单调性，由单调性即可得证．

解答： 解：在区间（0，+∞）上，f′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

．
（1）当a=3 时，f'（x）=

1

x

-3．
曲线y=f（x）在P（1，-3）处的切线斜率为1-3=-2，
则切线方程为y-（-3）=-2（x-1），即2x+y+1=0；
（2）①若a=0，f（x）=lnx有唯一零点x=1．
②若a＜0，则f′（x）＞0，f（x）是区间（0，+∞）上的增函数，
∵f（1）=-a＞0，f（e^a）=a-ae^a=a（1-e^a）＜0，
∴f（1）•f（e^a）＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）有唯一零点．
③若a＞0，令f′（x）=0得：x=

1

a

．
在区间（0，

1

a

）上，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数；
在区间（

1

a

，+∞）上，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数；
故在区间（0，+∞）上，f（x）的极大值为f（

1

a

）=ln

1

a

-1=-lna-1．
由f(

1

a

)≥0 即-lna-1≥0，解得：a≤

1

e

．
故所求实数a的取值范围是(-∞，

1

e

]．
（3）证明：设x₁＞x₂＞0，∵f（x₁）=f（x₂）=0∴lnx₁-ax₁=0，lnx₂-ax₂=0，
∴lnx₁+lnx₂=a（x₁+x₂），lnx₁-lnx₂=a（x₁-x₂），
原不等式x₁x₂＞e²?lnx₁+lnx₂＞2?a（x₁+x₂）＞2，
?

lnx1-lnx2

x1-x2

＞

2

x1+x2

?ln

x1

x2

＞

2(x1-x2)

x1+x2

，
令

x1

x2

=t，则t＞1，于是ln

x1

x2

＞

2(x1-x2)

x1+x2

?lnt＞

2(t-1)

t+1

．
设函数g（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

（t＞1）．
求导得：g′（t）=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
故函数g（t）是（1，+∞）上的增函数，
∴g（t）＞g（1）=0，即不等式lnt＞

2(t-1)

t+1

（t＞1）成立，
故所证不等式x₁•x₂＞e²成立．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间和极值，考查函数的零点问题，注意运用零点存在定理，考查不等式的证明，注意构造函数应用导数判断单调性加以证明，属于中档题．