Question

已知数列{a_n}是等差数列，a₂=6，a₅=12，数列{b_n}的前n项和是S_n，且S_n+

1

2

b_n=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{b_n}是等比数列；
（3）记c_n=

-2

anlog3 bn 2

，{c_n}的前n项和为T_n，若T_n＜

m-2013

2

对一切n∈N⁺都成立，求最小正整数m．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a_n}的通项公式．
（2）由已知得当n=1时，b1+

1

2

b1=1，当n≥2时，S_n+

1

2

b_n=1，S_n-1+

1

2

b_n-1=1，从而能够证明{b_n}是以

2

3

为首项，公比为

1

3

的等比数列．
（3）由b_n=2•（

1

3

）ⁿ，得c_n=

-2

anlog3 bn 2

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂项求和法能求出最小正整数m．

解答： （1）解：设{a_n}的公差为d，
则a₂=a₁+d=6，a₅=a₁+4d=12，
解得：a₁=4，d=2，
∴a_n=4+（n-1）×2=2n+2．…（2分）
（2）证明：∵数列{b_n}的前n项和是S_n，且S_n+

1

2

b_n=1，
∴当n=1时，b1+

1

2

b1=1，解得b₁=

2

3

，…（4分）
当n≥2时，S_n+

1

2

b_n=1，S_n-1+

1

2

b_n-1=1，
两式相减，得bn+

1

2

bn-

1

2

bn-1=0，…（5分）
∴bn=

1

3

bn-1，…（6分）
∴{b_n}是以

2

3

为首项，公比为

1

3

的等比数列…（7分）
（3）解：由（2）可知：b_n=

2

3

•(

1

3

)n-1=2•（

1

3

）ⁿ，…（8分）
∴c_n=

-2

anlog3 bn 2

=

-2

(2n+2)log3( 1 3 )n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

＜1．…（12分）
∵T_n＜

m-2013

2

对一切n∈N⁺都成立，
∴

m-2013

2

≥1，解得m≥2015，∴最小正整数m=2015．…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的证明，考查满足条件的最小正整数的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．