Question

在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．
（1）设G为AB上一点，且平面ADE∥平面CFG，求AG长；
（2）求证：平面BCF⊥平面ACFE；
（3）点E在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得AE∥FG，当AG=1时，AG

∥

.

DC，四边形AGCD是平行四边形，AD∥CG，平面ADE∥平面CFG．
（2）由勾股定理得BC⊥AC，由线面垂直得BC⊥平面ACFE，由此能证明平面BCF⊥平面ACFE．
（3）建立分别以直线CA、CB、CF为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，利用向量法能示出cosθ∈[

7

7

，

1

2

]．

解答： （1）解：∵四边形ACFE为矩形，∴AE∥FG，
∵梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，
∴当AG=1时，AG

∥

.

DC，四边形AGCD是平行四边形，
∴AD∥CG，
又∵CG∩FC=C，CG，FC?平面CFG，
∴平面ADE∥平面CFG．
故AG=1．
（2）证明：在梯形ABCD中，
∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，
∴AB=2，
∴AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos60°=3，
∴AB²=AC²+BC²，
∴BC⊥AC，
∵平面ACEF⊥平面ABCD，
平面ACEF∩平面ABCD=AC，
BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面ACFE，
∵BC?平面BCF，∴平面BCF⊥平面ACFE．
（3）解：由（2），分别以直线CA、CB、CF为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
令FM=λ，0≤λ≤

3

，
则C（0，0，0），A（

3

，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1），
∴

AB

=（-

3

，1，0），

BM

=（λ，-1，1），
设

n1

=（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，
由

n1 • AB =- 3 x+y=0 n1 • BM =λx-y+z=0

，
取x=1，则

n1

=（1，

3

，

3

-λ），
∵

n2

=（1，0，0）是平面FCB的一个法向量，
∴cosθ=

1

1+3+( 3 -λ)2×1

=

1

(λ- 3 )2+4

，
∵0≤λ≤

3

，
∴当λ=0时，cosθ有最小值

7

7

，
当λ=

3

时，cosθ有最大值

1

2

．
∴cosθ∈[

7

7

，

1

2

]．

点评：本题考查线段长的求法，考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．