Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：（x+1）2+y2= 的圆心为M，圆N：（x﹣1）2+y2= 的圆心为N，一动圆与圆M内切，与圆N外切．
（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程；
（Ⅱ）过点（1，0）的直线l与曲线P交于A，B两点，若 =﹣2，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设动圆P的半径为r，则|PM|= ﹣r，|PN|=r+ ．

两式相加，得|PM|+PN|=4＞|MN|，

由椭圆定义知，点P的轨迹是以M、N为焦点，焦距为2，实轴长为4的椭圆，其方程为 ．

（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，则 ， ， ．当直线的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立 消去y，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，则有 ， ， = = ．

由已知，得 ，解得 ．

故直线l的方程为

【解析】（Ⅰ）根据两圆内外切的性质可得出|PM|+PN|=4＞|MN|，即为椭圆由已知可求出方程。（Ⅱ）分情况讨论直线斜率存在和不存在，当斜率不存在时不成立；而当斜率存在时，设出直线方程和椭圆联立，消去y 由韦达定理求出 x 1 + x 2、 x1x2 的值，代入到向量的数量积坐标运算公式即可求出 k的值进而得出直线方程。
【考点精析】认真审题，首先需要了解椭圆的概念(平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆,这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距)．