题目内容
【题目】已知函数
.
(1)求不等式
的解集;
(2)函数
若存在
使得
成立,求实数
的取值范围;
(3)若函数
讨论函数
的零点个数(直接写出答案，不要求写出解题过程).
【答案】(1) 
；(2) 
；(3)答案见解析.
【解析】【试题分析】（1）先判断出函数
的是定义在区间
上的减函数，然后将所求不等式等价转化为
即
，由此求得解集为
.（2）由题意知: 
时, 
值域有交集. 
时, 
是减函数
对
分成两类讨论得出
的值域，由此求得
的取值范围.（3）由
，得
，令
则
作出图像，对
分类，结合图象讨论零点的个数.
【试题解析】
（1）
，定义域为
,函数
是奇函数.
又
在
时是减函数,(也可用定义法证明)
故不等式
等价于
即
,
又
故不等式
的解集为
.
(2)由题意知: 
时, 
值域有交集.
时, 
是减函数
当
时, 
时单调递减, 
当
时, 
时单调递增, 
显然不符合
综上: 
的取值范围为
(3)由
，得
，令
则
作出图像
由图可知，①当
时，由
得出
，
当
时, 
,对应有3个零点；
当
时, 
,对应有1个零点；
②当
时，只有一个
，对应有1个零点；
③当
时，只有一个
，对应只有一个零点；
④当
时， 
，此时
， 
，
由
得在
时， 
，三个
分别对应一个零点，共3个，
在
时， 
，三个
分别对应1个，1个，3个零点，共5个.
综上所述，当
或
或
时，函数
只有1个零点；
当
或
时，函数
有3个零点；
当
时，函数
有5个零点.
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